Logarithme népérien - Logarithme naturel

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Réels

Définition :
Il existe une fonction \(\ln\) unique de \(]0;+\infty[\to\Bbb R\) telle que $$\ln'x=\frac 1x$$

(Dérivée d’une fonction, Fonction inverse)

Complexes

Le logarithme naturel du nombre complexe \(z=\lvert z\rvert e^{i\theta}\) est : $${{\ln(z)}}={{\ln(\lvert z\rvert)+i\theta}}$$

(Ecriture exponentielle d’un nombre complexe, Module, Argument)

Propriétés

Propriété :
\(\ln\) est strictement croissante, elle définit une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\Bbb R\)

Formules utiles

Relation fonctionnelle

relation fonctionnelle :$${{\ln(ab)}}={{\ln a+\ln b}}$$

Opposé

$${{\ln\left(\frac 1x\right)}}={{-\ln x}}$$

(Fonction inverse)

Quotient

$$\ln\left({{\frac ab}}\right)={{\ln a-\ln b}}$$

Multiplication par un scalaire

$${{\ln a^n}}={{n\ln a}}$$

(Puissance)

Equivalence - Croissances comparées

$$\lim_{x\to{{0}} }{{\frac{\ln(x+1)}{x} }}={{1}}$$

$${{\ln(x+1)}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$

$${{\ln x}}\underset{ {{1}} }\sim {{x-1}}$$

$$\lvert\ln t\rvert=o({{t^{-\alpha} }})$$

Consigne: Montrer que $$\frac{\ln(n+1)}{\ln (n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Factoriser
$$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}=\frac{\ln(n(1+\frac1n))}{\ln n}$$

Relation fonctionnelle \(\to\) conclusion

$$=\frac{\cancel{\ln(n)}}{\cancel{\ln(n)}}+\underbrace{\frac{\ln(1+\frac1n)}{\ln (n)}}_{{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Dérivée

$$({{\ln x}})'={{\frac1x}}$$

(Fonction inverse)

Primitive

$$\int{{\ln(x)}}dx={{x\ln(x)-x+k}}$$

Développement limité en 0

Développement limité avec \(a=0\) : $${{\ln(1+x)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^k\frac{x^k}{k}+x^n\epsilon(x)}}$$

Développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) : $$\ln(x+1)={{x}}+x\varepsilon(x)$$

Développement limité à l'ordre \(2\) en \(0\) : $$\ln(x+1)=x+{{-\frac{x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$

Développement limité à l'ordre \(3\) en \(0\) : $${{\ln(x+1)}}=x-\frac{x^2}2+{{\frac{x^3}3}}+x^3\varepsilon(x)$$